Як вирішувати модулі?

Як вирішувати модулі?

Рівнянь й нерівностей з модулем Модулем числа називається саме це число, якщо воно невід’ємне, або це ж число з протилежним знаком, якщо воно негативне. Наприклад, модулем числа 6 є 6, модулем числа 6 теж є 6. Тобто під модулем числа розуміється абсолютна величина, абсолютне значення цього числа без урахування його знака.

Позначається так: 6, х, а і т. д. (Детальніше в розділі Модуль числа). Рівняння з модулем. Вирішити рівняння 10 х 5 = 15.

Відповідно до правила, рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: 10 х 10 х 10 х 10 х х х х х: х = 2, х = 1. Вирішити рівняння 2 х + 1 = х + 2. Оскільки модуль число невід’ємне, то х + 2 0. Відповідно: х 2. 2 х + 1 = х 2 х + 1 = (х 2 х + 1 = х 2 х + 1 = х 2 х х 2 х + х х х Обидва числа більше 2. Значить, обидва є корінням рівняння. Відповідь: х = 1, х = 1. Вирішити рівняння х х. Рівняння має сенс, якщо знаменник не дорівнює нулю означає, якщо х 1. Врахуємо це умова.

Наше перше дію просте не просто звільняємося від дробу, а перетворимо її так, щоб отримати підмодульних вираження в чистому вигляді: х + 3 січня = 4 g (х 1), х + 3 січня = 4 х 4, х + 3 = 4 х 4 + 1, х + 3 = 4 х 3. Тепер у нас в лівій частині рівняння тільки вираз під модулем. Йдемо далі.

Модуль числа є невід’ємне число тобто він повинен бути більше нуля або дорівнює нулю. Відповідно, вирішуємо нерівність: 4 х 4 х х Таким чином, у нас з’явилося друга умова: корінь або коріння рівняння повинні бути не менше 3/4. х + 3 = 4 х х + 3 = (4 х х + 3 = 4 х х + 3 = 4 х х 4 х х + 4 х х х Ми отримали дві відповіді. Перевіримо, чи є вони коріннями вихідного рівняння. У нас було дві умови: корінь рівняння повинен бути не менше 3/4, але не може бути дорівнює 1. Тобто х 1, х 3/4.

Обом цим умовам відповідає тільки один з двох отриманих відповідей число 2. Значить, тільки воно і є коренем вихідного рівняння. : Х = 2. Нерівності з модулем. Вирішити нерівність: х. а = а, якщо а 0. а = а, якщо а 0. Модуль може мати і невід’ємне, і негативне число. Значить, ми повинні розглянути обидва випадки: х 3 0 і х 3 0. 1) При х 3 0 наше вихідне нерівність залишається як є, тільки без знака модуля: х 4 березня. 2) При х (х 3) 4. Розкривши дужки, отримуємо: х + 3 квітня. Таким чином, від цих двох умов ми прийшли до об’єднання двох систем нерівностей: х х х х х х х х Отже, у нас у відповіді об’єднання двох множин: 3 х 7 U 1 х 3. Визначаємо найменше та найбільше значення.

Це 1 і 7. При цьому х більше 1, але менше 7. Крім того, х 3. Значить, рішенням нерівності є всі безліч чисел від 1 до 7, виключаючи ці крайні числа. : 1 х 7. Або: х (1, 7). 1) Є більш простий і короткий спосіб вирішення нашого нерівності — графічний. Для цього треба намалювати горизонтальну вісь (рис.

1). Вираз х — 3 4 означає, що відстань від точки х до точки 3 менше чотирьох одиниць.

Відзначаємо на осі число 3 і відраховуємо вліво і вправо від від нього 4 поділу. Зліва ми прийдемо до точки -1, праворуч до точки 7. Таким чином, точки х ми просто побачили, що не обчислюючи їх.

При цьому, згідно з умовою нерівності, самі -1 і 7 не включені в безліч рішень. Таким чином, отримуємо відповідь: 1 х 7. 2) Але є ще одне рішення, яке простіше навіть графічного способу. Для цього наше нерівність треба представити в наступному вигляді: 4 х 3 квітня. Адже так воно і є за правилом модуля.

Невід’ємне число 4 та аналогічне негативне число 4 є межами рішення нерівності. Далі ми просто переносимо вліво і вправо число 3 із зворотним знаком, залишаючи х 4 + 3 х 1 х 7. Вирішити нерівність х. Цей приклад суттєво відрізняється від попереднього. Ліва частина більше 5 або дорівнює 5. З геометричної точки зору, рішенням нерівності є всі числа, які від точки 2 відстоять на відстані 5 одиниць і більше (рис. 2).

По графіку видно, що це все числа, які менше або дорівнюють 3 і більше або рівні 7. А значить, ми вже отримали відповідь. : 3 х 7. 5 х 5 + 2 х Відповідь той же: 3 х 7. Або: х Приклад вирішене.

Вирішити нерівність: х. Число х може бути і позитивним числом, і негативним, і нулем. Тому нам треба врахувати всі три обставини. Як ви знаєте, вони враховуються у двох неравенствах: х 0 і х 0. При х 0 ми просто переписуємо наше вихідне нерівність як є, тільки без знака модуля: х 2 0. Тепер про другий випадок: якщо х 0. Модулем від’ємного числа є це ж число з протилежним знаком. Тобто пишемо число під модулем із зворотним знаком і знову ж звільняємося від знака модуля: (х) 2 0. + Х 2 0. Таким чином, ми отримали дві системи рівнянь: х х + х х Треба вирішити нерівності в системах а це значить, треба знайти коріння двох квадратних рівнянь. Для цього прирівняємо ліві частини нерівностей до нуля.

х 2 = 0. Як вирішується квадратне рівняння див. розділ Квадратне рівняння. Ми ж відразу назвемо відповідь: х = 1/2, х = 2/3. З першої системи нерівностей ми отримуємо, що рішенням вихідної нерівності є всі безліч чисел від 1/2 до 2/3. Пишемо об’єднання рішень при х 1/2; 2/3. + Х 2 = 0. х = 2/3, х = 1/2.

Висновок: при х 0 корінням вихідного нерівності є також всі числа від 2/3 до 1/2. Об’єднаємо дві відповіді і отримаємо підсумковий відповідь: рішенням є все безліч чисел від 2/3 до 2/3, включаючи і ці крайні числа. : 2/3 х 2/3.

Або: х 2/3; 2/3.

Як вирішувати модулі?

Сподобалася стаття? Поділися нею з друзями!